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[ETAM/GM]
Spannungsteilerregel
Die reine Reihenschaltung
Die Schaltung der Widerstände nennt man Reihen- oder Serienschaltung. Wir haben uns mit den Kirchoffschen Gesetzen bereits beschäftigt.
Allgemein gilt die Spannungsteilerregel, die besagt:
Spannungen und Widerstände stehen im selben Verhältnis zueinander.
\( \frac {U_1}{U_2} = \frac {R_1}{R_2} \) oder \( \frac {U_1}{U_g} = \frac {R_1}{R_g} \) oder \( \frac {U_2}{U_g} = \frac {R_2}{R_g} \)
Verhältnisse sind rechnerisch nichts anderes als Brüche.
Gleichungen mit Brüchen nennt man Proportionen.
Die restlichen Formeln stehen für das 1. Kirchhoff'sche - sowie das Ohm'sche Gesetz:
\( {U_g} = {U_1} + {U_2} \) oder \( {R_g} = {R_1} + {R_2} \)
\( {I} = \frac{U_g}{R_g} \)
Beispiel
Ein Spannungsteiler mit dem Gesamtwert von 120Ω soll für einen Verbraucher die Spannung von 24V auf 9V herunterteilen.
Wir berechnen zunächst die Teilspannungen:
\( {U_1} = {U_g} - {U_2} = {24 V} - {9 V} = {15 V}\)
Jetzt berechnen wir die Widerstände R1 und R2 mit Hilfe der Spannungsteilerregel:
\( \frac{U_2}{U_g} = \frac{R_2}{R_g} \)
durch Umstellen
\( {R_2} = {R_g} \ast \frac{U_2}{U_g} = {120 Ω} \ast \frac{9 V}{24 V} = {45 Ω} \)
Dann ergibt sich für den Rest:
\( {R_1} = {R_g} - {R_2} = {120 Ω} - {45 Ω} = {75 Ω} \)
Zahlen können frei eingegeben werden.
Das Feld, in das du klickst wird dann neu berechnet,
wenn für die Berechnung die nötigen Zahlenwerte vorliegen.
Die Reihenfolge der Berechnung ist beliebig:
Lösungsskizze:
Der belastete Spannungsteiler
Die erweiterte Reihenschaltung
Nun wird sozusagen der Spannungsteiler erweitert:
Aus R2 wird der erweiterte Parallelwiderstand R2L
für den Erweiterten R2L gilt:
\( {R_{2L}} = \frac{R_2 \ast R_L }{ R_2 + R_2 } \)und damit ändert sich auch der Gesamtwiderstand RgL:
\( {R_{gL}} = {R_1 + R_{2L}} \)Für die Spannungsteilerregel ergibt sich also ein "erweitertes Erscheinungsbild. Die Gesetzmäßigkeit bleibt selbstverständlich gleich:
\( \frac{U_1}{U_{2L}} = \frac{R_1}{R_{2L}} \) oder \( \frac{U_1}{U_{gL}} = \frac{R_1}{R_{gL}} \) oder \( \frac{U_{2L}}{U_{gL}} = \frac{R_{2L}}{R_{gL}} \)
Beispiel fortführen
Wird nun der Spannungsteiler belastet, erweitert sich eine Hälfte des Spannungsteilers um die Parallelschaltung des Lastwiderstandes.
Jetzt wird ein Lastwidertand RL = 54 Ω parallel zu R2 angeschlossen. So wird also aus dem "leerlaufenden" besser "unbelasteten" Spannungsteiler mit der Ausgangsspannung U20 ein belasteter Spannungsteiler mit der Ausgangsspannung U2L.
Das Teilerverhältnis ändert sich durch die Parallelschaltung von R2 und RL wie folgt:
\( \frac{U_{2L}}{U_{gL}} = \frac{R_{2L}}{R_{gL}} \)
Durch die Parallelschaltung erhält man eine Verkleinerung der Widerstände.
\( {R_{2L}} = \frac{R_2 \ast R_L }{ R_2 + R_2 } = \frac{45 Ω \ast 54 Ω }{ 45 Ω + 54 Ω } = 24,\dot 5 \dot 4 Ω \)
Das heißt R2L ist kleiner als R2 und RL.
\( {R_{gL}} = {R_1 + R_{2L}} = {75 Ω} + {24,\dot 5 \dot 4 Ω} = 99,\dot 5 \dot 4 Ω \)Auch RgL ist kleiner als Rg.
Die Spannungsteilerregel besagt, dass sich die Spannungen wie die Widerstände verhalten.
\( {U_{2L}} \) = \( {U_{gL}} \ast \frac {R_{2L}}{R_{gL}} \) = \( {24 V} \ast \frac {24,{\dot 5 \dot 4} Ω}{99,\dot 5 \dot 4 Ω} = {5,92 V \approx 6V } \)
Durch die Parallelschaltung verkleinert sich also sowohl der Teilwiderstand R2L gegenüber R2 als auch die Spannung U2L gegenüber U2 im Leerlauf.
Rechnen zur Ergebniskontrolle
Zahlen können frei eingegeben werden.
Das Feld, in das du klickst wird dann neu berechnet,
wenn für die Berechnung die nötigen Zahlenwerte vorliegen.
Die Reihenfolge der Berechnung ist beliebig:
Lösungsskizze:
Der belastete Spannungsteiler als Quelle mit Belastung
Das gleiche Ergebnis muss man erhalten, wenn man sich den Spannungsteiler als Quelle vorstellt, der durch die Widerstände R1 und R2 einen Innenwiderstand haben muss und an dessen Klemmen nun ein RL angeschlossen wird. Wir wissen dass die Klemmenspannung einer Quelle durch Belastung sinkt. Die Klemmenspannung ist aber die Teilspannung U2. Von der wissen wir bereits, dass sie durch Belastung (ist Parallelschaltung) tatsächlich sinkt. Wie kommen wir auf das selbe Ergebnis?
Nun ist in der gezeigten Schaltung die Leerlaufspannung der Quelle die selbe Spannung wie beim Spannungsteiler die Teilspannung U2. Für die Leerlaufspannung lässt sich also die Spannungsteilerregel wie oben schreiben:
Bei einer Quelle gilt für die Leerlaufspannung U0 aber:
Durch Gleichsetzen erhalten wir:
In der Praxis würde der Kurzschlussstrom nur über R1 fließen, da R2 ja kurzgeschlossen wird. Deshalb gilt für IK:
Setzen wir also noch statt IK den Bruch Ug/R1 in die vorletzte Gleichung ein, dann erhalten wir folgendes Ergebnis:
Durch Umstellen und Kürzen erhalten wir für den Innenwiderstand der Quelle:
Nun ist das Ergebnis genau die Formel für die Parallelschaltung der Widerstände R1 und R2. Wenn also ein Spannungsteiler als Quelle berechnet werden soll, dann gilt für ihn:
Der Innenwiderstand des Spannungsteilers als Quelle ist die Parallelschaltung seiner Teilwiderstände.
Weiss man den Strom, mit dem der Spannungsteiler belastet ist, kann der Abfall der Klemmenspannung wie bei einer Quelle berechnet werden. Der Laststrom kann aus obiger Angabe berechnet werden oder ist schlicht eine Vorgabe. In unserem Falle wollen wir die Ergebnisse vergleichen also berechnen wir aus der Angabe:
Der Spannungsverlust im inneren der Quelle ist der Grund für die geringer werdende Klemmenspannung bei Belastung:
Die Berechnung der Klemmenspannung der Quelle geht von der Leerlaufspannung aus und erfolgt nach dem zweiten Kirchhoff'schen Gesetz:
Das entspricht tatsächlich der Spannung, die wir schon durch die Berechnung des erweiterten Spannungsteilers erhalten haben.
Will man nur die Absenkung der Klemmenspannung bei Belastung eines Spannungsteilers wissen, ist der kürzeste Weg zur Berechnung der, indem man den Teiler als Quelle mit Ri ansieht.