Widerstandsschaltungen (Wiederholung)

Spannungsteilerregel

Die reine Reihenschaltung

Allgemein gilt die Spannungsteilerregel, die besagt:

Spannungen und Widerstände stehen im selben Verhältnis zueinander. Die Formelschreibweise steht rechts. Verhältnis sind rechnerisch nichts anderes als Brüche. Gleichungen mit Brüchen nennt man Proportionen.

Die Schaltung der Widerstände nennt man Reihen- oder Serienschaltung. Wir haben uns mit den Kirchoffschen Gesetzen bereits beschäftigt.

Die restlichen Formeln stehen also für das 1. Kirchhoff'sche sowie das Ohm'sche Gesetz:

   
    Das Feld, in das du klickst wird dann neu berechnet, 
    wenn für die Berechnung die nötigen Zahlenwerte vorliegen. 
    Die Reihenfolge der Berechnung kann unterschiedlich sein:
Berechne die Gesamtspannung: Ug = U1 * Rg / R1 Ug = V
Ug = U2 * Rg / R2
Berechne die Teilspannung 1: U1 = Ug * R1 / Rg U1 = V
Berechne die Teilspannung 2: U2 = Ug * R2 / Rg U2 = V
Berechne den Teilwiderstand 1: R1 = Rg * U1 / Ug R1 = Ω
Berechne den Teilwiderstand 2: R2 = Rg * U2 / Ug R2 = Ω
Berechne den Gesamtwiderstand: Rg = R1 + R2 Rg = Ω
Rg = R1 * Ug / U1
Rg = R2 * Ug / U2

Lösungsskizze:

Der belastete Spannungsteiler

Wird nun der Spannungsteiler belastet, erweitert sich eine Hälfte des Spannungsteilers um die Parallelschaltung des Lastwiderstandes.

Beispiel

Ein Spannungsteiler mit dem Gesamtwert von 120Ω soll für einen Verbraucher die Spannung von 24V auf 9V herunterteilen. Die Last liefert bei 9V die Leistung von 1,5W.

Wir berechnen zunächst aus dem Teilerverhältnis die Widerstände R1 und R2:

daraus ergibt sich durch umstellen

Folgende Kontrollrechnung liefert das selbe Ergebnis für R2.

Nun wird eine Last parallel zu R2 angeschlossen. Aus dem leerlaufenden Spannungsteiler mit der Ausgangsspannung U2 wird ein belasteter mit der Ausgangsspannung U2L. Das Teilervehältnis ändert sich durch die Parallelschaltung von R2 und RL wie folgt:

Durch die Parallelschaltung erhält man eine Verkleinerung der Widerstände.

Das heißt R2L ist kleiner als R2 und RL. Die Spannungsteilerregel besagt auch, dass sich die Spannungen wie die Widerstände verhalten. Durch die Parallelschaltung verkleinert sich also sowohl der Teilwiderstand R2L gegenüber R2 als auch die Spannung U2L gegenüber U2 im Leerlauf.

   
    Das Feld, in das du klickst wird dann neu berechnet, 
    wenn für die Berechnung die nötigen Zahlenwerte vorliegen. 
    Die Reihenfolge der Berechnung kann unterschiedlich sein:
Berechne die Gesamtspannung: Ug = U1 * RgL / R1 Ug = V
Ug = U2L * Rg / R2L
Berechne den Teilwiderstand 1: R1 = Rg * U1L / Ug R1 = Ω
Berechne den Teilwiderstand 2: R2 = Rg * U2L / Ug R2 = Ω
Berechne die Leerlaufspannung:
(Die Spannung an R2, wenn der Lastwiderstand Rg nicht angeschlossen ist)
U20 = Ug * R2 / Rg U20 = Ω
Berechne den Lastwiderstand: RL = 1 / (1 / R2L - 1 / R2 ) RL = Ω
Berechne den Ersatzwiderstand 2: R2L = R1 * RL / ( R2L + RL ) R2L = Ω
Berechne den Gesamtwiderstand: Rg = R1 + R2L Rg = Ω
Berechne die Teilspannung an R1: U1L = Ug * R1 / Rg U1L = V
Berechne die Teilspannung an R2 und RL: U2L = UgL * R2L / Rg
U2L = V

Lösungsskizze:

Der belastete Spannungsteiler als Quelle mit Belastung

Das gleiche Ergebnis muss man erhalten, wenn man sich den Spannungsteiler als Quelle vorstellt, der durch die Widerstände R1 und R2 einen Innenwiderstand haben muss und an dessen Klemmen nun ein RL angeschlossen wird. Wir wissen dass die Klemmenspannung einer Quelle durch Belastung sinkt. Die Klemmenspannung ist aber die Teilspannung U2. Von der wissen wir bereits, dass sie durch Belastung (ist Parallelschaltung) tatsächlich sinkt. Wie kommen wir auf das selbe Ergebnis?

Nun ist in der gezeigten Schaltung die Leerlaufspannung der Quelle die selbe Spannung wie beim Spannungsteiler die Teilspannung U2. Für die Leerlaufspannung lässt sich also die Spannungsteilerregel wie oben schreiben:

Bei einer Quelle gilt für die Leerlaufspannung U0 aber:

Durch Gleichsetzen erhalten wir:

In der Praxis würde der Kurzschlussstrom nur über R1 fließen, da R2 ja kurzgeschlossen wird. Deshalb gilt für IK:

Setzen wir also noch statt IK den Bruch Ug/R1 in die vorletzte Gleichung ein, dann erhalten wir folgendes Ergebnis:

Durch Umstellen und Kürzen erhalten wir für den Innenwiderstand der Quelle:

Nun ist das Ergebnis genau die Formel für die Parallelschaltung der Widerstände R1 und R2. Wenn also ein Spannungsteiler als Quelle berechnet werden soll, dann gilt für ihn:

Der Innenwiderstand des Spannungsteilers als Quelle ist die Parallelschaltung seiner Teilwiderstände.

Weiss man den Strom, mit dem der Spannungsteiler belastet ist, kann der Abfall der Klemmenspannung wie bei einer Quelle berechnet werden. Der Laststrom kann aus obiger Angabe berechnet werden oder ist schlicht eine Vorgabe. In unserem Falle wollen wir die Ergebnisse vergleichen also berechnen wir aus der Angabe:

Der Innenwiderstand des Teilers als Quelle ist die Parallelschaltung von R1 und R2:

Der Spannungsverlust im inneren der Quelle ist der Grund für die geringer werdende Klemmenspannung bei Belastung:

Die Berechnung der Klemmenspannung der Quelle geht von der Leerlaufspannung aus und erfolgt nach dem zweiten Kirchhoff'schen Gesetz:

Das entspricht tatsächlich der Spannung, die wir schon durch die Berechnung des erweiterten Spannungsteilers erhalten haben.

Will man nur die Absenkung der Klemmenspannung bei Belastung eines Spannungsteilers wissen, ist der kürzeste Weg zur Berechnung der, indem man den Teiler als Quelle mit Ri ansieht.