Das rechtwinklige Dreieck (Winkelfunktionen)

Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes

Rechtwinkelige Zeiger

oder

Woher kommt der rechte Winkel?

Die Lage des Zeigers in einem bestimmten MomentEin Zeiger dreht sich mit der Kreisfrequenz ω = 2.π.f kann durch die Koordinaten seiner Spitze berechnet werden. Diese Koordinaten bezeichnen wir als Komponenten des Zeigers. Die Überlegung führt uns zu den Zeigern Z1 und Z2, die - rechtwinklig stehend - aneinanderhängen, also geometrisch addiertdie Anwendung des pyt. Lehrsatzes
ist die Durchführung der geometrischen,
also lagerichtigen Addition von Zeigern.
werden.

Werden zwei Zeiger, die im rechten Winkel zueinander stehen addiert, ergibt die zeichnerische Addition ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Ergebniszeiger EZ ist die Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks.

Die zu addierenden Zeiger Z1 und Z2 stellen die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks dar.

Die Länge der Hypothenuse ist das Ergebnis einer zeichnerischen Addition, die mit dem pythagoräischen Lehrsatz berechnet wird.

Das Feld, in das du klickst wird neu berechnet:
Berechne den Betrag des Ergebniszeigers:
wenn Z1 = und Z2 = ist.
EZ = √ ( Z12 + Z22 ) EZ =

Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck

Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen geben das Verhältnis zweier Seitenlängen in einem Dreieck an.

Darin werden die Seiten allgemein folgendermaßen bezeichnet:

  1. Hypothenuse = längste Seite
  2. Katheten bilden den rechten Winkel
    1. Ankathete .... liegt am berechneten Winkel
    2. Gegenkathete .... liegt gegenüber dem berechneten Winkel

Darin ist

  1. AK ... die Ankathete
  2. GK ... die Gegenkathete
  3. HY ... die Hypothenuse

Die Winkelfunktionen beziehen sich immer auf einen bestimmten Winkel im Dreieck. In der Wechselstromtechnik beziehen wir uns auf den Phasenwinkel φ. Die Bezeichnung der Funktionen sind griechische Begriffe, die sich auf das Aussehen der Kurven beziehungsweise auf die Darstellung im Liniendiagramm beziehen:

  1. sinus ... die Bucht (der Busen)
  2. cosinus ... naja, seht nun selbst, ist der nicht 90° versetzt?
  3. tangens ... wenn der Wirkzeiger zum Radius wird, wird der Blindzeiger zur Tangente

Der Ergebniszeiger oder die Scheingröße kann mit den beschriebenen Winkelfunktionen multipliziert werden, und so kann jede Kathete entsprechend berechnet werden.

Wir berechnen die Werte der Zeiger aus dem Bild oben als Prozentwerte, wenn

  1. EZ = 100% und
  2. der Winkel φ = ° ist.

Das Feld, in das du klickst wird neu berechnet:
Berechne Z1: Z1 = EZ * cosφ Z1 = %
Berechne Z2: Z2 = EZ * sinφ
Z2 = %

Skizze des Zeigers im Einheitskreis:

Das rechtwinklige Dreieck in der Wechselstromtechnik

Der Rechte Winkel zwischen Wirk- und Blindgröße

Wenn wir das rechtwinklige Dreieck in ein Koordinatensystem zeichnen und uns den Ergebnis-Zeiger im Kreis rotierend vorstellen, finden wir uns mitten in der schon erwähnten Wechselstromthematik wieder.

Für die Wechselstromtechnik benötigen wir Gesetze im Rechtwinkligen Dreieck.

Über die bekannten Winkelfunktionen können alle Zeiger aus dem Scheinzeiger und dem Phasenverschiebungswinkel berechnet werden.

Das sieht allgemein so aus:

Das Feld, in das du klickst wird neu berechnet:
Berechne den Phasenwinkel: φ = cos-1 ( Wirkzeiger / Scheinzeiger ) φ = °
Berechne den Betrag des Scheinzeigers: ZSchein = Wirkzeiger / cosφ ZSchein = Einheiten
ZSchein = Blindzeiger / sinφ
ZSchein = √ ( Wirkzeiger2 + Blindzeiger2 )
Berechne den Betrag des Wirkzeigers: ZWirk = Scheinzeiger * cosφ ZWirk = Einheiten
Berechne den Betrag des Blindzeigers: ZBlind = Scheinzeiger * sinφ
ZBlind = Einheiten

Der Spannungsteiler bei Wechselstrom

Wir verwenden die Zeigerdarstellung für unsere Sinusförmigen Wechselstromgrößen :

  1. Bei einem Wirkwiderstand liegen Strom und Spannung in Phase.
  2. Bei einem Blindwiderstand herrscht zwischen Strom und Spannung eine Phasenverschiebung von 90° elektrisch.

Wenn ein Wirkwiderstand R und ein Blindwiderstand XL im selben Stromkreis in Reihe liegen, kommt es zu den gleichen Effekten, die wir schon kennen.

  1. Die Spannung teilt sich wie die Widerstände
    • in Wirkspannungsanteil UR
    • und Blindspannungsanteil UL|C.
  2. Die Leistung teilt sich in die Teilleistungen
    • Wirkleistung P
    • und Blindleistung QL|C.

Wir kennen das schon aus der Gleichstromtechnik. Ein Strom erzeugt entsprechend der Widerstandsgröße einen Spannungsabfall und die Summe der Spannungsabfälle ergibt die angelegte Spannung. Zur Erinnerungen hier klicken und noch mal lesen.

Die Addition kann auch als Zeiger- oder Vektoraddition geschrieben werden, was dann so aussieht:

dabei ist

  1. Z ... der Scheinwiderstand
  2. R ... der Wirkwiderstand
  3. X ... der Blindwiderstand (einec C oder einer L)

Die Summe muss aber geometrisch gebildet werden, es handelt sich hier nicht mehr um reine Zahlenwerte sondern um Zeiger, mit denen wir rechnen können. Wir erinnern uns:

Die Rechenoperation wird, wie schon erwähnt, mit Hilfe des "Pythagoras" durchgeführt:

Das Feld, in das du klickst wird neu berechnet:
Berechne den Scheinwiderstand: Z = √ ( R2 + XL/C2 )Z = R / cosφ Z = Ω
Z = R / cosφ
Z = XL/C / sinφ
Berechne den Wirkwiderstand: R = Z * cosφ R = Ω
Berechne den induktiven Blindwiderstand: XL = Z * sinφ XL = Ω
Berechne den Phasenwinkel: φ = cos-1 ( R / Z ) φ = °

Die zeichnerische Teilerregel

Wer zurückgeblättert hat, oder wer sich zurück erinnert, weiß wovon die Rede ist. Statt zu sagen: "Der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände.", kann man auch den umgekehrten Satz sagen: "Der Gesamtwiderstand teilt sich in zwei Widerstände."

Dieser Satz führt uns tiefer in die Geometrie, als wir unbedingt brauchen, aber manche haben sicher schon etwas vom "Satz des Thales" gehört.

Zeichnerisch sieht dieser Satz so aus:

Wenn sich eine Größe, die wir Schein-Zeiger nennen, in zwei Größen aufteilt, die zueinander im rechten Winkel stehen, liegt bei beliebiger Teilung dieser Winkel immer auf einem Kreisbogen.

Das Feld, in das du klickst wird neu berechnet:
Berechne die Teilwiderstände wenn der Scheinwiderstand Z = Ω ist und
die Phasenwinkel φ = ° beträgt:
Berechne den Wirkwiderstand: R = Z * cosφ R = Ω
Berechne den induktiven Blindwiderstand: XL = Z * sinφ XL = Ω

Die Gesetze von Kirchhoff in der Wechselstromtechnik

Für die Reihenschaltung der Widerstände gilt:

  1. Die Summe der Einzelwiderstände ergibt den Gesamtwiderstand
  2. Die Summe der Teilspannungen ergibt die Gesamtspannung
  3. Die Summe der Teilleistungen ergibt die Gesamtleistung
Wenn nun im selben Stromkreis beide Widerstandstypen liegen, der selbe Strom einen Wirkspannungs- und einen Blindspannungsabfall. Die Summe wird nach dem Kirchoffschen Gesetz die Gesamtspannung sein.

Addition von Spannungszeigern

Diese Zeiger sind Ersatzdarstellungen für sinusförmige Wechselstromgrößen. Wenn die Kurvenform von Wechselspannung oder –strom nicht sinusförmig ist, stimmt diese Art der Berechnung mit der Praxis nicht mehr überein.

Das Widerstandsdreieck

Für die Reihenschaltung gilt die Spannungsteilerregel. Also können die Widerstände wie deren Spannungsabfälle addiert werden. Das ergibt ein Widerstandsdreick:

Addition von Stromzeigern

Für die Parallelschaltung der Widerstände gilt:

  1. Die Summe der Einzelleitwerte ergibt den Gesamtleitwert
  2. Die Summe der Teilstöme ergibt den Gesamtstrom
  3. Die Summe der Teilleistungen ergibt die Gesamtleistung
Wenn nun an der selben Spannung beide Widerstandstypen liegen, wird aus dem Gesamtstrom ein Teil Wirk- und ein Teil Blindsstrom.

Das Leistungsdreieck

Und letztlich ergibt sich die Möglichkeit der Summenbidung der Einzelleistungen mit dem Leistungsdreick:

Alle Dreiecke einer Schaltung sehen grundsätzlich gleich aus, lediglich der Maßstab unterscheidet sich. Die Winkel zwischen den einzelnen Größen sind genau gleich!