Dreiecke und Zusammenhänge

Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck

Ein sehr praktiches Kapitel für die Berechnung der einzelnen Zeiger geht ebenfalls auf die Alten Griechen zurück. Wenn das Teilungsverhältnis Wirk- und Blindgröße bekannt ist, und die Scheingröße sowieso, wird die Berechnung dank der Winkelfunktionen sehr kurz.

Die Winkelfunktionen geben das Verhältnis zweier Seitenlängen in einem Dreieck an.
(siehe Rechnung unten)
Früher hat man mit diesen Verhältniszahlen ganze Tabellenbücher gefüllt und heute kann man diese Zahlen aus allen wissenschaftlichen Rechnern herauskitzeln.

Die Winkelfunktionen beziehen sich immer auf einen bestimmten Winkel im Dreieck. In der Wechselstromtechnik beziehen wir uns auf den Phasenwinkel φ. Die Bezeichnung der Funktionen sind griechische Begriffe, die sich auf das Aussehen der Kurven beziehungsweise auf die Darstellung in unserem Kreisbild beziehen:

  1. sinus ... die Bucht (der Busen)
  2. cosinus ... naja, seht nun selbst, ist der nicht 90° versetzt?
  3. tangens ... wenn der Wirkzeiger zum Radius wird, wird der Blindzeiger zur Tangente

Die Berechnung geht wie folgt:

Darin ist

  1. AK ... die Ankathete oder der Wirk-Zeiger
  2. GK ... die Gegenkathete oder der Blind-Zeiger
  3. HY ... die Hypothenuse oder der Wirk-Zeiger

Wir verwenden die Zeigerdarstellung für unsere Sinusförmigen Wechselstromgrößen :

  1. Bei einem Wirkwiderstand liegen Strom und Spannung in Phase.
  2. Bei einem Blindwiderstand herrscht zwischen Strom und Spannung eine Phasenverschiebung von 90° elektrisch.

Der Rechte Winkel zwischen Wirk- und Blindgröße

Wenn wir das rechtwinklige Dreieck in ein Koordinatensystem zeichnen und uns den Ergebnis-Zeiger im Kreis rotierend vorstellen, finden wir uns mitten in der schon erwähnten Wechselstromthematik wieder. Der Ergebniszeiger oder die Scheingröße kann mit den beschriebenen Winkelfunktionen multipliziert werden, und so kann jede Kathete entsprechend berechnet werden.

Über die bekannten Winkelfunktionen können alle Zeiger aus dem Scheinzeiger und dem Phasenverschiebungswinkel berechnet werden.

Das sieht allgemein so aus:

die Winkelfunktionen im Liniendiagramm

Spannend ist die Übertragung der Werte in ein Liniendiagramm. Das Bild zeigt die Kurvenform der Wechselstromgrößen in der schon erwähnten Winkelabhängigkeit:

Die Sinusfunktion ist der Cosinusfunktion elektrisch um 90° voreilend. (vgl. das Kapitel Phasenverschiebung und Blindwiderstände)

Der Spannungsteiler bei Wechselstrom

Wenn ein Wirkwiderstand R und ein Blindwiderstand XL im selben Stromkreis in Reihe liegen, kommt es zu den gleichen Effekten, die wir schon kennen.

  1. Die Spannung teilt sich wie die Widerstände
    • in Wirkspannungsanteil UR
    • und Blindspannungsanteil UL|C.
  2. Die Leistung teilt sich in die Teilleistungen
    • Wirkleistung P
    • und Blindleistung QL|C.

Wir kennen das schon aus der Gleichstromtechnik. Ein Strom erzeugt entsprechend der Widerstandsgröße einen Spannungsabfall und die Summe der Spannungsabfälle ergibt die angelegte Spannung. Zur Erinnerungen hier klicken und noch mal lesen.

Die Addition kann auch als Zeiger- oder Vektoraddition geschrieben werden, was dann so aussieht:

dabei ist

  1. Z ... der Scheinwiderstand
  2. R ... der Wirkwiderstand
  3. X ... der Blindwiderstand (einec C oder einer L)

Die Summe muss aber geometrisch gebildet werden, es handelt sich hier nicht mehr um reine Zahlenwerte sondern um Zeiger, mit denen wir rechnen können. Wir erinnern uns:

Die Rechenoperation wird, wie schon erwähnt, mit Hilfe des "Pythagoras" durchgeführt:

Die zeichnerische Teilerregel

Wer zurückgeblättert hat, oder wer sich zurück erinnert, weiß wovon die Rede ist. Statt zu sagen: "Der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände.", kann man auch den umgekehrten Satz sagen: "Der Gesamtwiderstand teilt sich in zwei Widerstände."

Dieser Satz führt uns tiefer in die Geometrie, als wir unbedingt brauchen, aber manche haben sicher schon etwas vom "Satz des Thales" gehört.

Zeichnerisch sieht dieser Satz so aus:

Wenn sich eine Größe, die wir Schein-Zeiger nennen, in zwei Größen aufteilt, die zueinander im rechten Winkel stehen, liegt bei beliebiger Teilung dieser Winkel immer auf einem Kreisbogen.

Die Gesetze von Kirchhoff in der Wechselstromtechnik

Für die Reihenschaltung der Widerstände gilt:

  1. Die Summe der Einzelwiderstände ergibt den Gesamtwiderstand
  2. Die Summe der Teilspannungen ergibt die Gesamtspannung
  3. Die Summe der Teilleistungen ergibt die Gesamtleistung
Wenn nun im selben Stromkreis beide Widerstandstypen liegen, der selbe Strom einen Wirkspannungs- und einen Blindspannungsabfall. Die Summe wird nach dem Kirchoffschen Gesetz die Gesamtspannung sein.

Addition von Spannungszeigern

Diese Zeiger sind Ersatzdarstellungen für sinusförmige Wechselstromgrößen. Wenn die Kurvenform von Wechselspannung oder –strom nicht sinusförmig sind, stimmt diese einfache Art der Berechnung mit der Praxis nicht mehr überein.

Das Widerstandsdreieck

Für die Reihenschaltung gilt die Spannungsteilerregel. Also können die Widerstände wie deren Spannungsabfälle addiert werden. Das ergibt ein Widerstandsdreick:

Addition von Stromzeigern

Für die Parallelschaltung der Widerstände gilt:

  1. Die Summe der Einzelleitwerte ergibt den Gesamtleitwert
  2. Die Summe der Teilstöme ergibt den Gesamtstrom
  3. Die Summe der Teilleistungen ergibt die Gesamtleistung
Wenn nun an der selben Spannung beide Widerstandstypen liegen, wird aus dem Gesamtstrom ein Teil Wirk- und ein Teil Blindsstrom.

Das Leistungsdreieck

Und letztlich ergibt sich die Möglichkeit der Summenbidung der Einzelleistungen mit dem Leistungsdreick:

Alle Dreiecke einer Schaltung sehen grundsätzlich gleich aus, lediglich der Maßstab unterscheidet sich.