Elektrotechnik und Angewandte Mathematik

Die Berechnung der Kreiszahl π (Pi)

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Archimedes berechnete π, indem er versuchte, den Kreis quadratisch zu machen. Dazu malte er in und um einen Kreis Vielecke mit 6, 12, 34, 48 und 96 Seiten. Der Umfang der Vielecke, die im Kreis lagen, wurde immer größer. Der Umfang der Vielecke, die um den Kreis gezeichnet waren, wurde immer kleiner. So konnte er den Wert von π eingrenzen und fand heraus, dass π größer als 3,1408 und kleiner als 3,14285 sein musste.

Tabelle der ermittelten Näherungswerte für π:

n-Eck s x a a*n=pi
6 1.0000000 0.8660254 0.5176380 3.1058285
12 0.5176380 0.9659258 0.2610523 3.1326286
24 0.2610523 0.9914448 0.1308062 3.1393502
48 0.1308062 0.9978589 0.0654381 3.1410319
96 0.0654381 0.9994645 0.0327234 3.1414525
192 0.0327234 0.9998664 0.0163622 3.1415576
384 0.0163622 0.9999665 0.0081812 3.1415839
768 0.0081812 0.9999916 0.0040906 3.1415905
1536 0.0040906 0.9999979 0.0020453 3.1415921
3072 0.0020453 0.9999994 0.0010225 3.1415925
6144 0.0010226 0.9999998 0.0005113 3.1415926
  

Das rechnerische Verfahren zur Ermittlung von pi:

1. Es gilt nach Pythagoras: s2=x2+(s/2)2Für das Sechseck ist x=(3/4)=0.86602
2. Es gilt: y=1-xIn unserem Fall ist y=0.13398
3. Wiederum nach Pythagoras: a2=y2+(s/2)2Beim Sechseck also a=0.26795=0.51764pi=6a=3.1058