Ohmsche Belastung

Ohmsche Widerstände werden warm, wenn Strom über sie fließt. Sie erzeugen keine Phasenverschiebung.

Ohmsche Verbraucher beziehen Wirkleistung zur Wärmeerzeugung.

Strom- und Spannungszeiger liegen in Phase.

Der Wirkwiderstand R

Der Ohm'sche Widerstand ist bekannt. Es gilt nach wie vor: \( R = \frac { \rho \cdot l}{A} = \frac { l}{\gamma \cdot A}\)

Der Wirkspannungsabfall U_R

Er wird mit dem Ohm'schen Gesetz in bekannter Weise berechnet: \( U_R = I \cdot R \)

Bei der Berechnung werden üblicherweise die Effektivwerte eingesetzt. Die Zeiger werden maßstäblich dargestellt.

Zahlenspiel

Induktive Belastung

Induktive Verbraucher sind Spulen. Wenn Strom fließt, wird in ihnen ein magnetisches Feld erzeugt.

Induktive Verbraucher beziehen induktive Blindleistung zur Erzeugung eines Magnetfeldes.

Zwischen Strom und Spannung herrscht 90° Phasenverschiebung. Der Strom eilt der Spannung um 90° elektrisch nach.

Merke: Iduktivität → Strom zu spät

Der Induktive Blindwiderstand X_L

Spulen werden daher als Induktive Blindwiderstände X_L bezeichnet und in Ω angegeben.

Für die Berechnung von X_L benötigt man die Kreisfrequenz ω.

Es gilt: \( X_L = \omega \cdot L \)

dabei ist
• \( \omega \) die Kreisfrequenz und
• \( L \) die Induktivität der Spule
  mit \( L = N^2 \cdot A_L = \frac { N^2 }{R_m} = N^2 \cdot \frac { \mu \cdot A_{Fe}}{l_m}\) was wir schon aus dem Magnetismus kennen.
  Die Induktivit wird einzig von den Abmessungen der Spule bestimmt.

XL ist frequenzabhängig.

Die Blindspannung U_L

Der Zusammenhang zwischen Spulenstrom I und Spulenspannung U_L ist wie bei Gleichstrom das Ohmsche Gesetz.

\( U_L = I \cdot X_L \)

Zahlenspiel

Kapazitive Belastung

Kapazitive Verbraucher sind Kondensatoren. Wenn (Lade-)Strom fließt, wird in ihnen ein elektrisches Feld erzeugt.

Kapazitive Verbraucher beziehen kapazitive Blindleistung zur Erzeugung eines Elektrischen Feldes.

Zwischen Strom und Spannung herrscht 90° Phasenverschiebung. Der Strom eilt der Spannung um 90° elektrisch vor.

Merke: Kondensator → Strom eilt vor

Kondensatoren werden daher als Kapazitive Blindwiderstände X_C bezeichnet und ebenfalls in Ω angegeben.

Der kapazitive Blindwiderstand X_C

Für die Berechnung von benötigt man ebenfalls die Kreisfrequenz ω.

Es gilt: \( X_C = \frac {1}{\omega \cdot C} \)

dabei ist
• \( \omega \) die Kreisfrequenz und
• \( C \) die Kapazität des Kondensators mit \( C = \varepsilon \cdot \frac { A }{d} \)
  • \( \varepsilon \) ... ist die Dielektrizitätszahl
  • \( A \) ... ist die Plattenfläche
  • \( d \) ... ist der Plattenabstand

XC ist ebenso frequenzabhängig.

Die Blindspannung U_C

Der Zusammenhang zwischen Kondensatorstrom I und Kondensatorspannung U_C ist ebenfalls das Ohmsche Gesetz.

\( U_C = I \cdot X_C \)

Zahlenspiel

Ohmisch - Induktive - Verbraucher

Bei den Elektrischen-Maschinen ist dieses die bedeutendste Belastungsart. Wicklungen sind

1. induktiv (magnetische Energieumformer)
2. und ohmisch (Verluste der Kupferwicklung als Elektrowärme). Diese "UND-Formel" führt uns schon zur Reihenschaltung.

Reihenschaltung von Ohmschem Widerstand und Spule

Hier gilt das Zweite Kirchoff'sche Gesetz für Wechseltrom: \( \vec {U}_{ges} = \vec {U}_R + \vec {U}_L \). Die \(Wirkspannung\) \(U_R\) und die \(Blindspannung\) \(U_L\) ergeben zeichnerisch addiert \( \vec {U}_{ges} = \vec {U}_N \) als Gesamtspannung.

\(U_N\) wird also mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes gerechnet, weil \( \vec {U}_R\) und \( \vec {U}_L \) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der \(Hypothenuse\) \( \vec {U}_N \) sind.

Es gilt: \(U_N = \sqrt {{U_R}^2 + {U_L}^2} \) ( = geometrische Summe)

Aus der Zeichnung ist zu sehen, dass der Strom kein Wirk- oder Blindstrom ist. Seine Phasenverschiebung gegenüber der Netzspannung ist zwischen 90° und 0°elektrisch. Dafür verantwortlich ist das Seitenverhältnis der Katheten\( \frac {U_R}{U_L} = \frac {R}{L}\).

Der Strom in der Schaltung ergibt sich nach dem Ohmschen Gesetz aus der Gesamtspannung und dem Gesamtwiderstand:\( I = \frac {U_N}{Z} \).

Der Gesamtwiderstand aus einer Reihenschaltung eines Wirk- und Blindwiderstandes ist der Scheinwiderstand Z. Er ist wieder die geometrische Summe der beiden Widerstände: \(Z = \sqrt {R^2 + {X_L}^2} \)

Der Gesamtwiderstand ist die (geometrische) Summe der Einzelwiderstände.

Zahlenspiel

Parallelschaltung von Spule und Ohmschem Widerstand

In der Praxis stellt diese Schaltung die \(Eisenverluste\) eines \(R_{Fe}\) im Ersatzschaltbild eines Trafos bei einer großen Induktivität (der \(L_H\)) dar. Verluste werden durch einen \(Teilstrom\) \(I_R\) gedeckt, was nur bei einer Parallelschaltung möglich ist.

Merke: Bei einer Parallelschaltung teilen sich die Ströme.

Es gilt: \( \vec {I}_{ges} = \vec {I}_R + \vec {I}_L \). Der \(Wirkstrom\) \(I_R\) und der \(Blindstrom\) \(I_L\) ergeben zeichnerisch addiert \( \vec {I}_{ges} \) als Gesamtstrom.

Die Teilströme können mit dem Ohmschen Gesetz über die Leitwerte gerechnet werden.

• Wirkstrom → Wirkleitwert: \( I_R = G \cdot U_N \) mit: \( G = \frac {1}{R} \)
• Blindstrom → Blindleitwert:\( I_L = B_L \cdot U_N \) mit: \( B_L = \frac {1}{X_L} \)

Auch hier ist der Strom kein reiner Wirk- oder Blindstrom mehr sondern ein Scheinstrom. Dafür verantwortlich ist das Seitenverhältnis der Katheten \( \frac {I_R}{I_L} = \frac {G}{B_L}\). im Stromdreieck.

Für \( \vec {I}_{ges} \) gilt das Erste Kirchoffsche Gesetz bei Wechseltrom. Der Wirkstrom I_R und der Blindstrom I_L ergeben zeichnerisch addiert den Netzstrom, der als Gesamtstrom wieder mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes gefunden werden kann, da I_R und I_L die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes mit der Hypothenuse I_N sind.

\(I_{ges} = \sqrt {{I_R}^2 + {I_L}^2} \) ( = die geometrische Summe der Teilströme)

Die Bestimmung des Gesamtwiderstandes geht nur über die Summe der Leitwerte, also ihrer geometrischen Addition. \(I_{ges} = \sqrt {{I_R}^2 + {I_L}^2}\) also \( \vec {B_{ges} \cdot U_N} = \vec {G \cdot U_N} + \vec {B_L \cdot U_N}\) oder durch kürzen von \( U_N \): \( \vec {B_{ges}} = \vec {G} + \vec {B_L} \)

\(B_{ges} = \sqrt {{G}^2 + {B_L}^2} \) ( = die geometrische Summe der Teilleitwerte)

Zahlenspiel

Ohmisch - Kapazitive - Verbraucher

Reihenschaltung von Ohmschem Widerstand und Kondensator

Hier gilt ebefalls das Zweite Kirchoff'sche Gesetz für Wechseltrom: \( \vec {U}_{ges} = \vec {U}_R + \vec {U}_C \). Die \(Wirkspannung\) \(U_R\) und die \(Blindspannung\) \(U_C\) ergeben zeichnerisch addiert \( \vec {U}_{ges} = \vec {U}_N \) als Gesamtspannung.

\(U_N\) wird also mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes gerechnet, weil \( \vec {U}_R\) und \( \vec {U}_C \) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der \(Hypothenuse\) \( \vec {U}_N \) sind.

Es gilt: \(U_N = \sqrt {{U_R}^2 + {U_C}^2} \) ( = geometrische Summe)

Aus der Zeichnung ist zu sehen, dass der Strom kein reiner Wirk- oder Blindstrom ist. Seine Phasenverschiebung gegenüber der Netzspannung ist zwischen 90° und 0°elektrisch. Dafür verantwortlich ist das Seitenverhältnis der Katheten\( \frac {U_R}{U_C} = \frac {R}{X_C}\).

Der Strom in der Schaltung ergibt sich nach dem Ohmschen Gesetz aus der Gesamtspannung und dem Gesamtwiderstand:\( I = \frac {U_N}{Z} \).

Der Gesamtwiderstand aus einer Reihenschaltung eines Wirk- und Blindwiderstandes ist der \(Scheinwiderstand\) \(Z\). Er ist wieder die geometrische Summe der beiden Widerstände: \(Z = \sqrt {R^2 + {X_C}^2} \)

Der Gesamtwiderstand ist die (geometrische) Summe der Einzelwiderstände.

Zahlenspiel

Gemischte - Verbraucher

Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Ohmschem Widerstand

Auch in diesem letzten betrachteten Fall gilt das Erste Kirchoffsche Gesetz für Wechselstrom. Die \(Wirkspannung\) \(U_R\) und die \(Blindspannungen\) \(U_L\) und \(U_C\) ergeben zeichnerisch addiert die Netzspannung.

Aufgrund der Phasenlage müssen die Vorzeichen der \(Blindspannungen\) beachtet werden. \(U_L\) und \(U_C\) wirken exakt gegeneinander, weshalb es immer \(- U_C\) heißen muss. Es bleibt die resultierende Blindspannung:

\(U_{LC} = U_L - U_C \)

Damit wird auch die geometrische Summe, oder der "Pythagoras" etwas lesbarer:

\(U_N = \sqrt {{U_R}^2 + {U_{LC}}^2} \)

Induktive und Kapazitive Blindwerte besitzen unterschiedliche Vorzeichen. Sie können algebraisch subtrahiert werden.

Zahlenspiel