Die Verbesserung des Leistungsfaktors

Blindleistung belastet die Zuleitung

Der Wirk- und Blindleistungsbedarf des Wechselstromverbrauchers führt zu einer erhöhten Strombelastung des Netzes.

Spulen in der Praxis

XL alleine kommt praktisch nicht vor RL = immer in Reihe geschaltet als "Verlustwiderstand" der Spule mit der Wärme- (Wirk-) Leistung \( I^2 \times R_L \)

"Ersatzschaltbild" einer Spule:

Damit fließt immer induktiver Blindstrom: \( cos\varphi = \frac{R_L}{Z} = \frac{P}{S} \) \( Z = \sqrt {{R_L}^2 + {X_L}^2} \) \( I = \frac{U}{Z} \) mit \( U_R = U \cdot cos\varphi \) und \( U_L = U \cdot sin\varphi \) \( S = U \cdot I \) mit \( P = S \cdot cos\varphi \) und \( Q_L = S \cdot sin\varphi \)

Der Strom errechnet sich aus der Scheinleistung des Verbrauchers: \( I = \frac{S}{U} \)

Gerechnet kann auch

• über die Wirkleistung: \( I = \frac{P}{U \cdot cos\varphi } \) oder
• über die Blindleistung: \( I = \frac{Q_L}{U \cdot sin\varphi } \)

Parallelkompensation

Der Kompensationskondensator ist parallel zur Induktiven Last geschalten. Das bringt spezielle Probleme mit sich, auf die später kurz eingegangen wird. Hier wird zunächst die Arbeitsweise behandelt.

Der Leistungsfaktor cos φ als Verhältnis der Wirk- zur Scheinleistung \( cos\varphi = \frac{P}{S} \) kann durch Zuschaltung von Kondensatoren verbessert werden.

"Ersatzschaltbild" einer kompensierten Spule: Was passiert in der Zuleitung?

1. K.G. \( I = \sqrt {{I_L}^2 - {I_C}^2} \) Der Kondensatorblindstrom ist dem Spulenblindstrom entgegengesetzt diese Ströme "heben sich auf". Der Wehrmutstropfen: Über die Spule fließt ein Scheinstrom, für den gilt: \( I_{RL} = \frac{U}{Z} \) zunächst ohne Kondensator, es muss in mehreren Etapen gerechnet werden (siehe Zahlenspiel). Klar geht das, aber einfacher wird alles mit den Leistungen (siehe nächstes Zahlenspiel).

Zahlenspiel

Rechnen über das Leistungsdreieck

Durch Zuschalten einer Kompensationsanlage wird die Aufnahme der Blindleistung aus dem Netz reduziert, indem die Kompensationsanlage die benötigte Blindleistung liefert.

Vollkompensation

Im optimalen Fall ist der Leistungsfaktor cos φ =1, d. h. die Schaltung nimmt nur noch Wirkleistung aus dem Netz auf, d.h.: \( Q_C = Q_L \)

Der für die vollständige Kompensation erforderliche Kondensator bei Parallelschaltung errechnet sich aus der gemeinsamen Spannung mit \( Q_C = \frac{U^2}{X_C} = U^2 \cdot \omega \cdot C \) woraus umgeformt werden kann:

\( C = \frac{Q_C}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot U^2} \)

In der Praxis kann ein cos φ = 1 nicht erreicht werden, weshalb wenigstens eine Verbesserung des Leistungsfaktors angestrebt werden muss.

Die Blindleistung kann mit der Winkelfunktion \( tangens\varphi = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \) also \( tan\varphi = \frac{Q}{P} \)

durch umformen dieser Formel in die Form

\(Q = P \cdot tan\varphi \)

aus der Wirkleistung berechnet werden.

Dabei muss nur beobachtet werden, daß die Kondensatorblindleistung Q_C nichts anderes ist, als die Differenz der Blindleistungen vor der Kompensation Q₁ und nach der Kompensation Q₂ .

Es gilt:

\(Q_C = P \cdot (tan\varphi_1 - tan\varphi_2) \)

Zahlenspiel

Überkompensation bei der Reihenschaltung

Der Kompensationskondensator ist in Reihe zur Induktiven Last geschalten. Diese Schaltung hat aber ein praktisches Problem: bei der Reihenschaltung werden die Widerstände und damit die Spannungsabfälle summiert. Blindwiderstände heben sich auf und der was passiert, wenn Widerstände kleiner werden, wissen wir spätestens seit der ersten Klasse, oder aus der "Kurzschluss-Praxis".

Reihenkompensation

Der Leistungsfaktor cos φ als Verhältnis der Wirk- zur Scheinleistung \( cos\varphi = \frac{P}{S} \) kann auch hier durch Zuschaltung von Kondensatoren verbessert werden.

"Schaltbild: Was passiert in der Schaltung?

2. K.G. \( U = \sqrt {{U_R}^2 - {U_{LC}}^2} \) wobei \( U_{LC} = U_L - U_C \) ist Die Kondensatorblindspannung ist der Spulenblindspannung entgegengesetzt, sie "heben sich auf". Der Wehrmutstropfen: Die Spannungsbeanspruchung des Kondensators kann beträchtlich hoch werden. In der Nähe eines cosφ = 1 können die Spannungen und der Strom wirklich sehr hoch werden!

Zahlenspiel

Überkompensation

Damit die Spannungen und Ströme nicht zugroß werden, wird ein praktischer Trick angewendet. Man kompensiert jede zweite Spule in einer Kette. Der Kondensator ist zu groß, damit kompensiert er auch die unkompensierte Spule mit.

"Schaltbild: Was passiert in der Schaltung?

1. K.G. Die Ströme im oberen, "kapazitiven" Zweig und im unteren "induktiven" Zweig addieren sich zu einem kompensierten Gesamtstrom. \( \vec {I_{ges}} = \vec {I_C} + \vec {I_L} \). So liegt der cosφ letztlich wieder in der Nähe von 1!

Die theor. Lösung

Der Kondensator wird so gewählt, dass sein Blindwiderstand doppelt so hoch, wie der der Spule in seinem Zweig ist \( Q_C = 2 \cdot Q_L \)

Zeigerdiagramm zusammensetzen:

Zahlenspiel